书籍介绍
《黎曼几何引论(上)》可供综合大学、师范院校数学系、物理系学生和研究生作用教材，并且可供数学工作者参与。“黎曼几何引论”课是基础数学专业研究生的基础课。从1954年黎曼首次提出黎曼几何的概念以来，黎曼几何学经历了从局部理论到大范围理论的发展过程。现在，黎曼几何学已经成为广泛地用于数学、物理的各个分支学科的基本理论。《黎曼几何引论(上)》上册是“黎曼几何引论”课的教材，前四章是黎曼几何的基础；第五与第六章介绍黎曼几何的变分方法，是大范围黎曼几何学的初步；第七章介绍黎曼几何子流形的理论。每章末都附有大量的习题，书末并附有习题答案和提示，便于读者深入学习和自学。
作者简介
陈维桓，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系，后师从吴光磊先生读研究生。长期从事微分几何方向的研究工作和教学工作，开设的课程有“微分几何”、“微分流形”、“黎曼几何引论”和“纤维丛的微分几何”等。已出版的著作有：《微分几何讲义》（与陈省身合著），《黎曼几何选讲》（与伍鸿熙合著），《微分几何初步》，《微分流形初步》和《极小曲画》等。
李兴校 河南师范大学数学系教授，1994年在四川大学获得博士学位，主要研究方向是子流形微分几何。
AI导读
编辑书评
- 本书的独特价值在于其“去神秘化”的教学策略。不同于传统教材倾向于展示数学的优雅与简洁，陈维桓教授选择了一种近乎笨拙的诚实：将所有抽象概念落地为可计算的坐标形式。这种做法牺牲了阅读的流畅性，却换取了理解的确定性。对于中国数学教育背景下成长的学生而言，这种从具体到抽象的路径更符合认知规律。然而，其局限也显而易见：由于篇幅限制，许多现代黎曼几何的重要工具（如更深入的指标理论）被压缩至习题或省略，导致其作为“引论”虽扎实，但作为“全景图”则显得视野受限。
- 在同类书籍中，本书与Do Carmo的经典之作形成互补而非竞争关系。Do Carmo胜在几何直觉的激发，而本书胜在技术细节的完备。如果你正在准备研究生入学考试或从事需要大量具体计算的物理研究（如广义相对论），本书是不可或缺的案头参考；但若你旨在探索纯数学的理论前沿，建议在通读本书建立信心后，迅速转向更具现代视角的文献。总体而言，这是一本被低估的“工匠型”教材，它不试图让你惊叹于数学之美，而是确保你能亲手触摸到数学之实。
核心看点
- 本书以极度细致的笔触构建黎曼几何基础，区别于国内受陈省身影响多讲活动标架的传统，它坚持用抽象张量处理结果并辅以局部坐标验证，这种“双轨制”写法虽显冗长，却极大降低了初学者在概念转换时的认知负荷。
- 习题部分并非简单的练习，而是理论延伸的关键载体。Killing向量场、李群作用及Bochner技巧等重要内容均隐含于习题中，作者通过这种方式在有限的篇幅内完成了从基础定义到大范围几何初步的完整逻辑闭环。
- 全书核心在于厘清度量与拓扑的关系，特别是通过联络、平行移动和指数映射层层递进地定义测地线。其对Hopf-Rinow定理等关键结论的推导过程详尽，旨在帮助读者建立对黎曼流形计算直观感知的严谨数学框架。
读者共识
- 读者普遍认可其“细致友好”的风格，认为相比其他高深莫测的教材，本书对咸鱼党或初学者极为宽容，几乎每个步骤都有迹可循，能有效缓解面对抽象微分几何时的焦虑感，是极佳的入门伴侣。
- 争议点在于篇幅与深度的平衡。部分读者抱怨书太厚且未讲完所有重要内容，指出某些关键定理（如指数映射切映射分析）略显单薄，且因过度依赖坐标计算，使得整体阅读体验不如伍鸿熙等著作那般简洁有力。
- 共识认为本书具有极高的实用参考价值，特别是在需要补全细节或进行具体计算时。多位读者提到，虽然初读觉得枯燥，但在回顾或解决具体问题时，其详尽的推导过程和习题解答能提供不可替代的支持。
目录
用户评论
对于我的入门起到了极大的帮助！尤其是能够把一些很抽象的概念很具象地勾勒出来，对我的广义相对论学习帮了一大把
心疼P大学子
微分几何真无趣，告辞
我们这学期的教材，写的可以说是相当的清楚，也很容易看懂😂光是平行移动那一块，就从不同方面讲了好几节。不过因为预备知识的原因，习题做起来是相当的痛苦。但是现在回过头来看，习题里面也是讲了不少的东西，killing场，李群，黎曼淹没，bochner技巧，这些都是习题里的内容。因此读的话，建议还是做一做上面的题目
【两册】写得非常细致，对我这样的咸鱼非常友好。
黎曼几何入门书
过了这么长时间再读，感觉是本不错的书
初次接触本书应该是在某次开卷考试的考场上。此番细读还是收获不少。Riemann区分了空间的度量性质与拓扑性质，并给出了可选的度量形式，不同点处的切空间需要建立同构方能定义微分，此即引出联络，并进一步有平行移动的几何描述。以切向量平行的方式定义测地线，微妙地区别了最短性。个人觉得对指数映射及其切映射的分析略少，部分内容的说解也本可以更清晰一些，比如曲率算子刻画协变导数算子两次作用交换次序时所产生的差别，截面曲率为Gauss曲率在高维情形的推广，但定义略显突兀。以变分向量场模长的变化情况去反应测地线的“发散”或“收敛”，这是理解Jacobi场的思路之一。与作者另一部微分几何教材类似，本书插图较少，比如讲变分向量场即无配图，很多时候读者无法确定自身对文字的理解是否精确，这样就少了一个验证的手段。
