书籍介绍
《哥德尔证明》是第一本既面向学者又面向非专业人士，对哥德尔证明的主要思路和广泛含义作了易读的解释的书。对任何具有逻辑和哲学品味的受过教育的人士来说，它提供了一个深入了解先前无法企及的论题的机会。
在此书的新版中，普利策奖的获奖作者道格拉斯•R·霍夫斯塔特对这一经典著作的原文进行了重新斟酌和更新，澄清了模糊之处，使论述更为清晰，并使行文更具可读性。
AI导读
核心看点
- 深入解析哥德尔不完备定理的核心逻辑与证明思路
- 霍夫斯塔特新版序言澄清模糊点，提升可读性
- 揭示形式系统一致性与完备性的根本局限
适合谁读
- 对数理逻辑、哲学及数学基础感兴趣的读者
- 具备一定逻辑基础，想深入理解哥德尔证明的人
- 文科生或希望了解该定理通俗解释的普通读者
读前提醒
- 建议先阅读《哥德尔传》建立背景知识再读此书
- 书中涉及大量逻辑概念，需耐心反复阅读消化
- 非数学专业读者可侧重理解框架，不必纠结细节
读者共识
- 作为科普读物，它是理解哥德尔证明的最佳入门书
- 内容艰深烧脑，阅读过程极具挑战性但收获巨大
- 新版注释详尽，极大降低了理解门槛，值得推荐
本导读基于书籍简介、目录、原文摘录、短评和书评生成，不等同于全文精读。
精彩摘录
- "很明显，除非忍受循环或无穷倒退之苦，总是有一些指称算术属性的词汇是无法明确定义的——因为我们不能定义所有的东西，而必须从某处出发——尽管这些词汇仍可能以某种其他方式被理解。"
- "哥德尔的天才之处，就在于他认识到数字是体现任何种类的模式的普遍中介，并且正因为如此，表面上看来只是有关数字的命题，事实上能够被看作是有关其它领域的命题的编码。换句话说，哥德尔跨越了数论的表面层次，认识到数字能够代表任何种类的结构。在计算机问题上应用哥德尔的想法，可以看到，由于计算机说到底是操作数字的，而数字又是体现任何种类的模式的普遍中介，因而计算机能对应任意类型的模式，不管它们是逻辑的还是非逻辑的，是一致性的还是非一致性的。简言之，当你站得离成千上万内部相互联系着的各种数字模式足够远时，你就能看出其它领域的模式，就像肉眼观看一个显示屏上的像素，能从中看出一张熟悉的脸来，而非 0 和 1 组成"
- "由于模型的所有元素以及它们之间相应的关系，能够得到直接的、可穷尽的检验，并且由于对它们进行检查时出错的可能性实际上为零，所以，在这种情况下，公理之间的一致性就不再是一个值得真正怀疑的问题。"
- "因此，《数学原理》通过将数学系统特别是数论的一致性问题化归为形式逻辑本身的一致性问题，似乎推进了这一问题的最终解决。"
- "举例来说，对于一个包括加法公理而不包括乘法公理的形式系统，就能够得到一致性的绝对证明。"
- "因此，很明显的是，如果某个公式S和其形式否定~S都可以从这组公理中推导出来，那么每一个公式都可以推导出来。简而言之，如果这个演算不是一致的，那么每一个公式都是一个定理。这就等于说，从一组矛盾的公理中可以推导出任何公式。但是，这有一个逆命题：如果不是每个公式都是一个定理（即如果至少有一个公式不能从这组公理推导出来），那么这个演算是一致的所以，我们的任务就是要证明，至少有一个公式不能从这组公理推导出来。"
- "数学家们构建的形式系统，属于标着“数学”这个名称的文档；而对这个系统的描述、讨论和推测，属于标着“元数学”这个名称的文档。"
- "然而，对于像《数学原理》这样的系统，其词汇和形式规则足可用以表达整个数论而不仅是其中一个片断，希尔伯特的有限方法是不是强有力得足以证明它的一致性呢？构建这个证明的反复嚐试均遭失败，直到1931年发表的哥德尔的论文最终证明，所有严格遵循希尔伯特原来方案的努力是不可能取得成功的。 哥德尔的第二个结论更叫人吃惊和更具革命性，因为它表明公理方法的能力有着根本的局限。哥德尔证明了，《数学原理》或任何其它能在其中发展出算术的系统，实质上是不完全的。换句话说，在任何一致的数论形式系统中，都存在此系统无法推导出的真的数论命题。"
作者简介
欧内斯特·内格尔（Ernest Nagel） (1901—1985）
内格尔出生于现在捷克共和国的首都布拉格（当时是奥匈帝国的一部分），十岁时随家庭移居美国。1923年获纽约城市学院学士学位，1925年获哥伦比亚大学数学硕士学位，1930年获该校哲学博士学位。此后除了在洛克菲勒大学工作过一年之外，一直在哥伦比亚大学任教：1946年起任教授，1956年至1966年任杜威讲座哲学教授，1967年至1970年退休前成为校级教授。其间，1940年至1946年任《符号逻辑》杂志编委；1939年至1956年担任《哲学杂志》编委；1956年至1959年任《科学哲学》杂志编委。曾任美国哲学和科学方法研究会主席，美国符号逻辑协会主席，美国哲学协会东部分会主席。他于1961年出版的《科学的结构》（The Structure of Science）被公认为科学分析哲学的开山之作，是逻辑实证主义运动的领军人物之一。内格尔是美国科学院院士，英国科学院的通讯院士。
詹姆士·R· 纽曼（James R. Newman）（1907—1966）
律师、数学家和数学史家。二战前后及期间曾担任美国驻伦敦大使馆首席情报官，战时副国务卿特别助理，美国参议院原子能问题顾问等重要敏感职务。战后从1948年起，成为《科学美国人》杂志的编委会成员。他曾用十几年的时间编辑出版了四卷本的《数学世界》丛书，其中收集了从古到今的重要数学文献，具有极大参考价值，曾多次再版。
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用户评论
最重要的就是利用了理查德悖论，又绕过了解决理查德悖论的数学命题与元数学命题的区分。
一直在想，如果新基础集合论的层化公式要求被引入到逻辑学中，会如何。不过大概也就和1936年罗素证明的一样，得到一个完备且自恰但不是递归可遍历的公理集吧。
不是很好，翻译也不行。哥德尔定理完全可以用文字表述出来而不必非得借助于抽象的数理符号。在这点上，本书还是略显繁琐愚笨了一些，当然针对纯门外汉而言是这样的。但既然是这样，那就不要标榜本书的普遍适用性和明晰性了。
这本书竟然是作者们写的一篇文章的附属物
本书后半部分以脚注的方式写成。。。
严重不明觉厉！
毁灭性打击了自然机械论，为实在论留下空间。没有深入讨论哥德尔证明的技术细节，而是大体思路的介绍，很有启发性。
哥德尔牛逼！理性的自否性被发现后，死的理论（形而上学）被彻底杀死，活的理论（辩证法）绽放生机！
数理逻辑入坑作。读的时候惊为天人。寒假重温书单+1
终于体会到精读复读的作用了，第二遍读完就豁然开朗起来😆
读的不爽，核心部分讲的不好。。。
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