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数学 - [英] Timothy Gowers

数学

[英] Timothy Gowers

出版社

译林出版社

出版时间

2014-02-28

ISBN

9787544745239

评分

★★★★★

标签

数学牛津通识读本科普科学

书籍介绍
翻开这本书之前，大多数人会把数学想象成一堆冷冰冰的定义、记号与公式的堆砌，敬而远之。蒂莫西·高尔斯偏偏从读者最真实的困惑切入：数学研究的从来不是现实世界本身，而是从现实中抽象出来的模型。他借掷骰子、地图染色、课程表调度这些日常情境，让人恍然——原来彼此毫不相干的问题，换一个模型便统一起来。全书最耐人寻味之处，在于它反复提醒读者：决定数学价值的不是对象"是什么"，而是它"怎么用"。虚数、零、高维空间的存在意义，都在于它们发挥的作用。因此这不是一本教你计算的书，而是一次关于"如何像数学家一样思考"的邀请：学会取舍、简化、抽象，把复杂的世界压缩成可处理的模型。
作者简介
蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers） 剑桥大学劳斯·鲍尔数学教授，“数学界诺贝尔奖”——菲尔茨奖获得者，该奖专门授给“年轻数学家所作的最为大胆、最为深入、最有启示性的研究”。
AI导读
核心看点
  • 菲尔兹奖得主解析高等数学与中学数学的根本区别
  • 通过模型、抽象、证明等概念揭示数学本质
  • 探讨无限、虚数、高维空间等反直觉概念
读者共识
  • 语言通俗易读，有效消除对数学的恐惧
  • 深刻揭示数学作为抽象思维工具的价值
  • 部分读者认为对无基础者仍具一定挑战
精彩摘录
  • ">要真正深入地回答“数学是什么？”这个问题，不能仅仅从定义出发，而必须涉及数学的具体内涵，作一些比较深入的解释和说明，才能达到使人信服的效果。但是，要这样做，会常常碰到下面两个似乎难以克服的技术上的困难。 第一，数学内涵的展现离不开众多的术语、记号和公式。在公众对有关的数学内涵产生兴趣并开始有所领悟之前，很可能早已为这些术语、记号和公式搞得晕头转向甚至望而却步了。 第二，数学内涵的展现同样离不开必要的逻辑推理。推理若过分严密，很难引起公众的兴趣；但若过于粗疏，语焉不详，则又易使人不得要领。"
  • ">。会上获菲尔茨奖不久的蒂莫西·高尔斯教授应邀作了一个公众讲演。他在强调数学是一个整体的时候，曾说，如果把所有的数学分支按是否有联系组成一个网络，一定是一个连通的网络，而不会有一些学科，尽管它们看来与其他分支联系很少，游离于整个数学这一大网络之外。"
  • ">。这也是不正确的：实际上夹角越小，人能使上的力气越大。 上述这些缺陷的重要性各有不同，我们在计算和预测中应该采取怎样的态度来对待这些偏差呢？把所有因素全部考虑在内进行计算固然是一种办法，但还有一种远为明智的办法：首先决定你需要达到什么样的精确度，然后用尽可能简单的办法达到它。如果经验表明一项简化的假设只会对结果产生微不足道的影响，那就应当采取这样的假设。 例如，空气阻力的影响相对来说是比较小的，因为石头很小很硬，密度大。假如在出手角度上有较大的误差，那么通过计入空气阻力来将计算复杂化就没有多大意义。如果一定要考虑进去的话，以下这条经验法则就足矣：空气阻力变大，则通过减小出手角度来弥补。"
  • ">每组数对中第一个数表示骰子甲的结果，第二个数表示骰子乙的结果。恰有六组满足两数之和为7，因此掷出7的概率就是6/36，即1/6。 可能有人会反对这种模型，他们会说，骰子在滚动时是遵循牛顿定律的，至少在很高的精度上遵循，因此骰子落地的情况根本不是随机的：原则上是完全能够被计算出来的。但是，“原则上”这个短语在这里被过度使用了，因为这样的计算将会是极端复杂的，并且需要知道骰子的形状、材料、初始速度、旋转速度等更为精确的信息，而这般精确的信息在实际中是根本无法测出来的。因为这一点，使用某种更为复杂的决定论模型是无论如何也不会有任何优势的。"
  • ">地图染色与时间表制定 设想你正在绘制一幅地图，地图上分成了若干区域，你希望为这些区域选取颜色。你可能想选用尽可能少的颜色，但同时还希望避免任意两块相邻区域使用相同的颜色。再设想你正在安排大学课程的时间表。课程有很多门，但可供安排的总时间段有限，所以会有某些门课程时间冲突。哪些学生选了哪些课程已经登记在列，你希望尽可能合理安排，仅当两门课程没有学生同时选择时才可以时间冲突。 这两个问题看似截然不同，但一种合理的模型能够说明，从数学的观点来看它们其实是一样的。在这两个问题中，都需要给一些对象（国家、课程）赋予一些属性（颜色、时间）。对象中有某些两两组合（相邻的国家，不能冲突的课程）是不能相容的，"
  • ">我们说数学是一个抽象的领域，这包含两层含义：一来它从问题中抽象出重要特征，二来它所处理的对象不是具体的、有形的。在下一章，我们将讨论数学抽象的第三层，也是更深层的含义，前面的例子其实已经让我们对此有所了解。图是一种具有可塑性的模型，可以用在多种场合。但当我们研究图时，完全不需要考虑它的这些具体用途：点究竟表示地区、课程还是别的完全不同的东西，这并不重要。研究图的理论工作者可以完全抛弃现实世界，进入到纯粹抽象的王国之中。"
  • ">数学家理所当然地认为数就是存在的，不理解它何以能够成为一个问题。本章的主要目的就是要解释，为什么数学家能够愉快地忽视这样一个看似非常基本的问题，甚至理应忽视它。"
  • ">看出这一点很有意思——尽管我的论述并不直接依赖于它：象棋，或者任何类似的游戏，都可以以图为模型。（图已经在前一章末定义过了。）图的顶点代表游戏的某种可能的局面。如果两个顶点P和Q有边相连，那就意味着可以从局面P出发，经过合乎规则的一步之后达到局面Q。因为有可能无法从Q返回到P，所以这样的边需要用箭头来指示方向。某些顶点可以看作白棋获胜，还有某些顶点可以看作黑棋获胜。游戏从一个特定顶点，即游戏的开始局面出发。两位棋手相继沿着边移动。第一位棋手努力要走到白棋获胜的某个顶点，第二位棋手则要走到黑棋获胜的顶点。图6显示了某种大大简化的类似游戏。（图中不难看到，对于这个游戏来说白棋有必胜策略。） 尽管"
目录
前言
第一章　模型
第二章 数与抽象
第三章 证明
第四章 极限与无穷

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用户评论
数学其实是个逻辑自洽的积木王国，不在科学体系之内。而几何上难以想象的高维，在代数里只是些点的集合，只要自洽便是存在的。作者对数学的观点是，一个事物的本质或许就是它的作用，就如0、虚数、存在的意义，就是它们的作用。0若没有实际作用，它便没有存在意义。而极限、近似，更像是种聪明的妥协。你说，人生中的很多虚无，是不是也是这样。
数学的抽象往往我还能理解，一直以来从初等数学学到高等数学便以这样的形式（即所有的公式都只是人类为了表达对世界的理解而强制进行的定义）来理解数学，但往往如作者所说，当你试图去理解这玩意儿到底是什么东西的时候难度才会产生，这一层思维我始终无法突破。以及渐渐的发现数学也算是一种科学哲学，人类的智慧所到达的限度有限，认识世界的探索进行的并不顺利。书本身非常好，深入浅出，讲清了我大学数学学了两学期没明白的好多概念。如果我能遇到这样的数学老师，我不至于如此害怕数学。
这是给"初中毕业生"看，让他们不要被人类知识体系中"最抽象"的知识吓退。但"通识"最珍贵的是"开放性的框架"，即便是存在偏见与不足，而不是"具体且封闭的数学应用"。引导学生去感受历史上那些群星的动机与目的，了解他们的偏见与不足，才能使学生不落入教条主义的陷阱。第八章的常见问题其实是很委婉的说了很多数学学术界的共识，当然这些共识符合统计和逻辑但是不符合pc。其中有一点针对非初中生的读者，比如高数都落灰的读者的忠告:你们不要和数学互相伤害了，快放过数学和你自己吧。p.s.推荐<普林斯顿数学指南>
受益甚多，尤其是维度、极限部分，讲得很清楚
2015/07/05 确实是“科普书”，真要看点数学，教材是少不了的。
数学基本思想导论，证明，维度几章很简明，估计与近似一章有些潦草。
很浅，一会就看完了，用处很小，通识科普。平行公设的那一段需要考虑
简单但是深刻，不错的科普书
我觉得写的还是相当不错的，基本不需要很高的数学基础。读完此书可以大致了解目前数学研究的问题，当然可以领略到数学的美妙。
通俗易懂、讲解清晰，看下来不费力气，很不错的补充读物
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