书籍介绍
作为伍胜健《数学分析》第二册，本书承接第一册的极限与微分理论，正式进入积分与级数的世界：从定积分的严格构造，到广义积分的敛散判别，再到数项级数、函数序列与一致收敛、幂级数与傅里叶级数。它并非炫技式的奇书，而是一本“中规中矩”的教科书——证明干净、结构清晰，几何直观与物理背景作为概念的入口，适合系统跟完一门课。但读者评价也暴露了它的取舍：级数部分被不少人认为不如徐森林那本透彻，甚至有人因此“减一星”。正因如此，它更像一座“通往更深数学的十字路口”：内容扎实、难度适中，值得配合同等读物的习题册一起啃。若你追求某一板块的极致深度，或许会失望；但若要稳扎稳打地走完本科数学分析，它仍是一个可靠的选择。
作者简介
伍胜健，北京大学数学科学学院教授、博士生导师。1992年在中国科学院数学研究所获博士学位。主要研究方向是复分析。在北京大学长期讲授数学分析、复变函数、复分析等课程。
AI导读
编辑书评
- 伍胜健教授的这本《数学分析（第二册）》是一部典型的“学院派”基石之作，其最大价值在于经过北大多年教学检验的知识体系完整性。它并非为了炫技或展示前沿观点，而是致力于用最稳妥的方式让学生掌握分析学的核心骨架。对于绝大多数以通过考试、考研或建立初步学术直觉为目标的学生而言，它是安全且高效的选择。然而，其局限性同样明显：过度依赖传统符号、习题与例题脱节、以及对傅里叶分析等高级主题的浅尝辄止，使其难以满足追求卓越深度读者的需求。它是一本优秀的“入门向导”，但若想登堂入室，必须辅以更现代的专题著作。
- 与同类经典教材相比，本书的独特之处在于其强烈的“教学实用性”导向。作者刻意将难点分散，利用几何直观化解抽象定义，这种编写逻辑非常契合中国本科生的认知习惯。但在当前数学教育日益趋向结构化与现代化的背景下，本书略显保守。例如，在处理级数收敛性时，未能充分展现其与拓扑空间的深层联系，使得内容显得有些孤立。因此，我建议将其作为第一遍学习的主体教材，而在第二遍深化理解时，务必结合Rudin或Zorich等国际经典进行对比阅读，以弥补其在视野广度与现代性上的不足。
核心看点
- 本书作为北大数学分析教材第二册，核心在于构建从单变量积分到无穷维空间分析的桥梁。它系统梳理了定积分、广义积分及级数理论，特别强调通过几何直观与物理背景引入概念，旨在降低抽象理论的认知门槛，适合需要扎实基础训练的学生。
- 在内容编排上，本书对傅里叶级数和函数项级数的处理体现了作者的教学经验。虽然部分读者认为其讲解简略，但这种精简策略有助于快速建立整体框架，配合习题训练能有效强化对收敛性判别和一致收敛等难点的理解，符合国内高校教学大纲要求。
- 该书习题质量被部分资深读者认可为“非常高”，且题目设计紧密贴合分析学各分支的先导需求。尽管存在例题与习题难度不匹配的问题，但其提供的解题思路提示对于培养严谨的数学逻辑思维和独立解决复杂分析问题的能力具有不可替代的价值。
读者共识
- 多数读者评价本书为“中规中矩”的标准教材，肯定其在基础知识讲述和基本能力训练上的稳定性。然而，批评声音集中在习题设计上，普遍反映缺乏详细答案且例题与习题难度跨度大，导致自学体验不佳，需额外寻找题解支持。
- 关于特定章节的评价呈现两极分化：一方面有读者赞赏习题质量高且内容先导性强；另一方面，多位读者明确指出傅里叶级数讲得太简略、难懂，甚至有人表示“看吐了”。此外，级数部分的论述被认为不如徐森林版本详尽，存在一定争议。
- 读者普遍注意到本书符号使用的陈旧问题，这成为阅读过程中的主要干扰因素之一。同时，对于定积分应用部分出现的“微元法”等内容，部分严格派读者质疑其数学严谨性，认为其更像工程计算而非纯粹数学分析，反映出教材定位的混合特征。
目录
第七章 定积分 §7.1 定积分的概念与微积分基本定理 7.1.1 曲边梯形的面积 7.1.2 定积分的定义 7.1.3 定积分的几何意义 7.1.4 连续函数的可积性 7.1.5 微积分基本定理 §7.2 可积性问题 7.2.1 可积的必要条件 7.2.2 达布理论 7.2.3 可积函数类 §7.3 定积分的性质 §7.4 原函数的存在性与定积分的计算 7.4.1 变限定积分 7.4.2 定积分的计算 §7.5 定积分中值定理 7.5.1 定积分第一中值定理 7.5.2 定积分第二中值定理 §7.6 定积分在几何学中的应用 7.6.1 直角坐标系下平面图形的面积 7.6.2 参数方程表示的曲线所围平面图形的面积 7.6.3 微元法 7.6.4 极坐标方程表示的曲线所围平面图形的面积 7.6.5 平行截面面积为已知的立体的体积 7.6.6 曲线的弧长 7.6.7 旋转体的侧面积 §7.7 定积分在物理学中的应用 习题七第八章 广义积分 §8.1 无穷积分的基本概念与性质 §8.2 无穷积分敛散性的判别法 §8.3 瑕积分 8.3.1 瑕积分的概念 8.3.2 瑕积分敛散性的判别法 习题八第九章 数项级数 §9.1 数项级数的基本概念 9.1.1 数项级数的基本概念 9.1.2 柯西准则 §9.2 正项级数 9.2.1 比较判别法 9.2.2 达朗贝尔判别法与柯西判别法 9.2.3 拉贝判别法 9.2.4 柯西积分判别法 §9.3 任意项级数 9.3.1 交错级数的敛散性 9.3.2 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 §9.4 数项级数的性质 9.4.1 结合律 9.4.2 交换律 9.4.3 级数的乘法(分配律) §9.5 无穷乘积 习题九第十章 函数序列与函数项级数 §10.1 函数序列与函数项级数的基本问题 §10.2 一致收敛的概念 §10.3 函数序列与函数项级数一致收敛的判别法 10.3.1 柯西准则 10.3.2 一致收敛的判别法 §10.4 一致收敛的函数序列和函数项级数 10.4.1 极限函数的连续性 10.4.2 极限函数的积分 10.4.3 极限函数的导数 习题十第十一章 幂级数 §11.1 幂级数的收敛半径与收敛域 11.1.1 幂级数的收敛半径与收敛域 11.1.2 收敛半径的求法 §11.2 幂级数的性质 §11.3 初等函数的幂级数展开 11.3.1 泰勒级数 11.3.2 初等函数的泰勒展式 §11.4 连续函数的多项式逼近 习题十一第十二章 傅里叶级数 §12.1 函数的傅里叶级数 12.1.1 基本三角函数系 12.1.2 周期为2π的函数的傅里叶级数 12.1.3 正弦级数与余弦级数 12.1.4 周期为2T的函数的傅里叶级数 §12.2 傅里叶级数的敛散性 12.2.1 狄利克雷积分 12.2.2 傅里叶级数的收敛判别法 §12.3 傅里叶级数的其他收敛性 12.3.1 连续函数的三角多项式一致逼近 12.3.2 傅里叶级数的均方收敛 12.3.3 傅里叶级数的一致收敛性 习题十二部分习题答案与提示名词索引
用户评论
傅立叶讲得太简略了
对级数存在偏见←_←减一星
有许多符号是旧时的用法，看书时很别扭。
……学完一周年纪念？
好歹学完！
有点难懂，尤其是傅里叶级数那一章。
@2014-06-24 04:09:22
中规中矩的教材
级数不如徐森林那本好
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