![希尔伯特几何基础 - [德] 希尔伯特](https://static.book345.com/covers/9787301148037.jpg)
AI导读
核心看点
- 以五组公理重构欧氏几何，奠定现代数学公理化基石。
- 深入探讨公理相容性与独立性，揭示非欧几何的逻辑本质。
- 展现几何算术化与代数化过程，体现希尔伯特严谨的数学思想。
适合谁读
- 高等院校数学系师生及从事数学基础研究的科研人员。
- 对数学史、公理化方法及数理逻辑有浓厚兴趣的进阶读者。
- 具备高等数学基础，渴望深入理解几何学本质的中学教师。
读前提醒
- 本书学术性极强，非通俗科普，需具备扎实的数学基础。
- 建议配合李文林导读及附录阅读，辅助理解抽象的公理体系。
- 阅读时建议动手绘图辅助思考，注意部分早期译本的语言习惯。
读者共识
- 公理化体系的简约美感令人震撼，彻底改变了许多人的数学观。
- 内容深奥晦涩，被公认为数学史上的经典名著，阅读门槛极高。
- 译文存在些许生硬之处，但无损其作为科学元典的崇高地位。
本导读基于书籍简介、目录、原文摘录、短评和书评生成，不等同于全文精读。
精彩摘录
- "格丁根墓园里希尔伯特的墓碑。碑的下部刻有希尔伯特的名言“Wir müssen wissen. Wir werden wissen!”（我们必须知道，我们必将知道）。在第二次世界大战中，希尔伯特的学派不幸遭到打击。他的大部分学生在法西斯的迫害下纷纷逃离德国。希尔伯特本人因年迈未能离去，在极其孤寂的气氛下度过了生命的最后岁月。1943年希伯特因摔伤引起的各种并发症而与世长辞，葬礼极为简单，他云散异国的学生都未能参加。"
- "O起始的射线或者完全在角内，或者完全在角外；一条完全在角内的射线与线段HK有交点。若A是一个区域的一点，而且B是另一个区域的一点，则每一条连接A和B的折线段或者通过点O，或者和h或至少有一点交点；反之，若A和A'是同一个区域的两点，则恒有一条连接A和A'的折线，它既不通过点O，又和h和k无交点。 角与角之间有一定的相互关系，我们用“合同”或“相等”这个词来表示它。"
- "V1（度量公理或阿基米德公理）若AB和CD是任意两线段，则必存在一个数n使得沿A到B的射线上，自A作首尾相接的n个线段CD，必将越过B点。 V2（直线完备公理）一直线上的，点集连同其顺序关系与合同关系不可能再这样地扩充，使得这直线上原来元素之间所具有的关系，从公理I一Ⅲ所推出的直线顺序与合同的基本性质以及公理V1都仍旧保持。"
- "§10 平行公理的独立性（非欧几里得几何）① 我们知道了公理有相容性之后，另一个有趣的问题是研究它们全体是否互相独立。实际上，我们的五组公理的每一个组成部分，都不能够是在它之前的诸组的逻辑推论。 首先，前三组公理中的个别公理，我们很容易证明：同一组中的诸公理基本上是互相独立的。 在我们的叙述中，第一组公理和第二组公理是其余的公理所根据的。所以我们还只要进而证明：第三组、第四组和第五组中的每一组公理都与其余的公理互相独立。 平行公理V和其他公理互相独立；这可以按熟知的方式最简单地证明如下：在§9中所建立的通常的（笛卡儿）几何中，取一固定的球，并考虑使这个球不变的所有的一次变换，用这几何里所有在这"
- "从此以后，几何进一步的构造，能够遵照解析几何中通常所采用的方法来进行。 迄今为止，本章中都没有用阿基米德公理；现在我们假设这公理成立，那么空间中任意一条直线上的点，我们都能指定实数和它们对应。方法如下： 先在这直线上任意选取两个点，指定0和1这两个数和它们对应；然后二等分由这两点所决定的线段01，指定？和这样得到的中点对应，再指定4和线段02的中点对应；继续这种方法”次之后，就得到一个点，和它对应的数是2。现在再迁移线段0二到0点处，既迁移到O的1所在的一侧，又迁移到另一侧；迁移一次之后又一次，继续m次，这样得到的两点我们分别指定兴及一和它们对应。从阿基米德公理很容易地得到下述结论：根据这种对"
- "个锐角α，而且在负半平面上的射线k的延长线'和轴的正向作成一个角β，使得下列关系 tgβ/tgα=2 在笛卡儿几何中成立。 即便在由笛卡儿几何中的两条射线所表出的那些直线上，点的顺序和线段的长度也可同通常一样地很显然地规定出来。容易知道，公理I1~3，Ⅱ，Ⅲ~3，V·在这样规定的几何中成立6；例如立即可以看出，通过一点的诸直线不重复地盖满平面。此外，在这几何中公理V也成立。 若一个角没有具有下述性质的一条边：从轴出发到正半平面而且和轴的正向作成一个锐角，这个角就如同通常在笛卡儿几何中【】一样来度量，否则，若一个角ω至少有一条边是一条具有上述性质的射线h，则用相当的'替代h（参看图64）作边，便"
- "定理62 设一种平面几何中，公理I1~3，Ⅱ，Ⅳ·都满足，而且巴斯噶定理正确。这几何中的每一条纯粹的交点定理，可以通过作适当的辅助点和辅助直线，表为有限个巴斯噶构形的组合。 于是，利用巴斯噶定理，交点定理的证明就不需要再求助于合同公理和连续公理。"
- "结束语 Conclusiondo。sG・ 本书对于几何的原理作了一个批评的研究；在研究的过程中，指导我们的原则是：在讨论每一个当前问题时，要同时检查能否遵照预定的方式利用限定的辅助工具，得到这问题的解答。在我看来，这是我们应该采取的一个普遍的而且自然的原则；事实上，当我们作数学研究而遇到一个问题或猜测一条定理时，只有等待这问题完全得到了解决，而且完成了这定理的严密证明，或者彻底了解了不可能成功的原因，因而同时了解了失败的必然性，我们的求知本能才能得到满足。 在近代数学里，某一些解答的或问题的不可能性的研究占有突出的地位，而且对于这种问题的努力往往引到斯的和富有成果的研究领域的发现，我们只需要回"
作者简介
大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862年1月23日－1943年2月14日），德国数学家，是19世纪末和20世纪前期最具影响力的数学家之一。
目录
用户评论
伟大的著作。在不长的篇幅中涉及了三个方面的成果：公理几何的严密化，几何系统的算术和代数化，以及公理系统证明强度的比较。前两点是对欧几里得和笛卡尔传统的继承和完成，而第三点则是后世模型论方法和反推数学的先驱者和思想源泉
不明觉厉 重新定义的几何
形式主义
非欧几里得几何、非阿基米德几何的专业名著，它会让你发现中学里学的几何其实连基础都算不上。希尔伯特的理论以关联公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理为基础，善于将数学运算与几何结合（并非解析几何，而是比如线段的加减乘除）
@2013-03-24 19:54:21
希尔伯特的论述精彩，弗雷格的回应以及背后体现的数学哲学、康德哲学观点一样精彩。(该补数学了)
简单翻了翻，很抽象，没有耐心读懂，平时工作中也没有什么用，只能是仰望一下，知道这本书和一般的几何有什么不同。里面的很多评语是摘自传记《希尔伯特：数学界的亚历山大》一书，对希尔伯特生平感兴趣的可以读一读那本书。
如此经典的这些原著，如此优秀的这些译本，凑了一套勉强及格的丛书，还被废物主编写了6页恶心的垃圾弁言。口区
【kindle】我是想不开打开了这本书，看完图我就看不下去了，原谅我很垃圾的数学
Z-Library
收藏