Leonhard Euler's polyhedron formula describes the structure of many objects - from soccer balls and gemstones to Buckminster Fuller's buildings and giant all-carbon molecules. Yet Euler's formula is so simple it can be explained to a child. "Euler's Gem" tells the illuminating story of this indispensable mathematical idea. From ancient Greek geometry to today's cutting-edge research, "Euler's Gem" celebrates the discovery of Euler's beloved polyhedron formula and its far-reaching impact on topology, the study of shapes. In 1750, Euler observed that any polyhedron composed of V vertices, E edges, and F faces satisfies the equation V-E+F=2.David Richeson tells how the Greeks missed the formula entirely; how Descartes almost discovered it but fell short; how nineteenth-century mathematicians widened the formula's scope in ways that Euler never envisioned by adapting it for use with doughnut shapes, smooth surfaces, and higher dimensional shapes; and, how twentieth-century mathematicians discovered that every shape has its own Euler's formula. Using wonderful examples and numerous illustrations, Richeson presents the formula's many elegant and unexpected applications, such as showing why there is always some windless spot on earth, how to measure the acreage of a tree farm by counting trees, and how many crayons are needed to color any map. Filled with a who's who of brilliant mathematicians who questioned, refined, and contributed to a remarkable theorem's development, "Euler's Gem" will fascinate every mathematics enthusiast.
- "欧拉在这封信中借用了莱布尼茨创造的术语geometriam situs，意思是位置几何学。这个术语后来变成了位置分析学，最终又变成了拓扑学。莱布尼茨指的是一个新数学领域，它“直接与位置打交道，就像代数与量打交道那样”。关于欧拉是否误解了菜布尼茨的术语，学者们意见不一；尽管如此，欧拉确实认同菜布尼茨的想法，觉得需要一种新的数学技巧来处理七桥问题。"
- "拥有笛卡儿的论文后，克莱尔色列便开始发表它们。与此同时，他也允许学者们来亲自检查原件。莱布尼茨就是对浸满水的笛卡儿笔记感兴趣的数学家之一。某次到巴黎旅行时，他抄录了笛卡儿的笔记中关于多面体的部分内容，它们大致可以追溯到1630年。这些重要的笔记现在被称为《立体的基础理论》。 克莱尔色列去世于1684年，即菜布尼茨来访的八年后，留下了一些尚未出版的笛卡儿手稿。这些手稿中就有《立体的基础理论》。它的原件早已失踪，莱布尼茨的抄本也一度消失了近两个世纪。若非上天保佑，我们永远都不会知道笛卡儿关于多面体的极富洞察力的工作了。 富歇·德·卡雷伊是一名十九世纪的研究笛卡儿的学者。他从莱布尼茨的书信中得知后者"
- "对今天的我们来说，它是多面体的一个明显特征，但它在笛卡儿的时代却连名字都没有。如果那时真有人察看多面体的棱，那也不过是多边形面里的一条边；这个意义上的“棱”不过是用来构造“角”的几何对象罢了。要把欧拉公式写成常见的形式，笛卡儿就得发明“棱”的概念才行。 因此，那些声称笛卡儿没有发现欧拉公式的人认为，棱的引入对公式来说至关重要。之前我们已经知道，欧拉意识到了这个定理本质上的重要性一它在0维对象（顶点）、1维对象（棱）和2维对象（面）之间建立起了联系。在此后的岁月中，欧拉公式得到推广，最终成了拓扑学的重要定理。拓扑学家们没有止步于2维的面。我们将在第二十二章和第二十三章中看到，庞加莱等人把欧拉公式"
- "欧拉的第一个巧妙想法是，多面体的面由0维、1维和2维的成分组成，即顶点（或者如他所称，立体角）入、棱和面，而它们就是我们必须数清楚的特征。这三个量后来也成了所有拓扑曲面的标准构成要素。欧拉写道： “因此，任何立体中都有三种边界必须被考虑到，那就是（1）点，（2）线，（3）面，又或者我们该用专属于多面体的名字来称呼它们：（1）立体角，（2）棱，（3）面。这三种边界完全决定了一个立体。”"
- "开普勒已经知道多边形和圆不是太阳系模型的正确要素，于是他把注意力转向了三维多面体和球体。他认为五种柏拉图立体的存在必然和已知的六大行星一土星、木星、火星、地球、金星和水星一有关。他宣称，行星的轨道与五种柏拉图立体和球面的相互嵌套有关。 首先考虑一个以土星一当时已知离太阳最远的行星一一的轨道为赤道的球面。在这个球面里内接一个立方体，然后在这个立方体中再内接一个球面。开普勒认为，这个小球面的赤道就是木星的轨道（见图6。5）。继续使用这种构造方式（正四面体、球面、正十二面体、球面、正二十面体、球面、正八面体、球面），我们就找到了全部六颗行星的轨道。"
- "因此，开普勒是第一个在已出版著作中公开支持哥白尼日心模型的职业天文学家。此时，甚至比他年长七岁的伽利略（1564一1642）都还没有在这个问题上发表过观点。 《宇宙的神秘》的前半部分充满神秘主义一开普勒兴致勃勃地介绍了占星术、数字命理学和符号学。他列举了一些复杂的非科学理由来解释他的太阳系模型为何正确。他在柏拉图立体之中看到了一种清晰的等级体系。例如，他把它们分为“主要的”（正四面体、立方体和正十二面体）和“次要的”（正八面体和正二十面体）。主正多面体就是那些每个顶点周围都有三个面的正多面体。他断言，“包含”比“被包含”更完美。在他的行星模型中，主正多面体处于外侧，次正多面体处于内侧，地球的轨"
- "即便到了这个阶段，开普勒也仍然对柏拉图立体痴迷不已。他赞同古希腊的四元素理论，也像柏拉图一样主张它们是由柏拉图立体构成的。我们需要铭记的一点是，《宇宙和谐论》比玻意耳的革命性专著《怀疑的化学家》早出版了四十二年。在《宇宙和谐论》中，开普勒借鉴了柏拉图和亚里士多德的思想，把它们与自己的非科学论据相结合，论证了四种元素都是柏拉图立体。 他认为，立方体是最稳定的柏拉图立体，因为当它被平放在桌面上之后，人们就不能轻易地移动它，所以它一定是土。当正八面体被两根手指夹住时，人们可以轻易地旋转它，所以它是最不稳定的，一定是气。对于一个给定的表面积，正四面体是体积最小的正多面体，所以它是五种柏拉图立体中最干燥"
- "欧几里得写过好几本书，但他不朽的声名却是来源于其中一本。大约在公元前300年，他完成了自己的代表作《几何原本》。那是一本覆盖了初等几何、数论和几何代数的教科书。欧几里得没有太多原创性的数学贡献，《几何原本》中的大部分结论，甚至可能全部内容，都是其他人首先证明的。普罗克洛写道，欧几里得“把各种基本原理纳入书中，整理了许多欧多克索斯的定理，完善了不少特埃特图斯的成果，也用无可辩驳的方式重新论证了一些没有被前人严格证明的东西”。 《几何原本》的写作方式有相当大的缺陷，它没有给数学赋予历史背景，没有提及研究动机，也没有探讨结论的应用。然而，它在阐释和逻辑论证方面超越了过去的所有数学著作。欧几里得首先提"
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Microeconomic Foundations II
That Tyrant, Persuasion
The Two Greatest Ideas
The Princeton Guide to Historical Research
The Handbook of China's Financial System
Leaving Academia: A Practical Guide