郑志刚，华侨大学荟萃计划特聘教授，福建省闽江学者特聘教授。1998年于北京师范大学获理学博士学位，师从胡岗教授。曾任北京师范大学物理系教授，现于华侨大学任教。长期从事统计物理学与非线性科学研究，并教授本科生和研究生相关课程。胡岗教授，北京师范大学物理系二级教授，1968年本科毕业于北京师范大学物理系，1982年于比利时布鲁塞尔自由大学获理学博士学位，长期致力于统计物理学和非线性科学的教学与研究。

“中外物理学精品书系”的编委会成员，包括主任王恩哥、副主任夏建白等众多知名物理学家。成员们按照姓氏笔画排序，其中部分成员担任执行编委。此外，还有秘书陈小红负责日常事务。整个编委会阵容强大，成员们专业素养高，为物理学领域的精品书籍出版提供了有力保障。



“中外物理学精品书系”编委会

本书从动力学角度深入探讨了平衡态和非平衡态统计物理的基本问题及其应用，涵盖了非线性动力学、遍历理论、涨落定理等多个方面。书中通过阐述确定性动力系统的不稳定性与内禀随机动力学，为动力系统的统计和热力学描述提供了理论基础。同时，详细介绍了非平衡态系统的确定性描述，以及低维和少体系统的热传导行为及其调控。此外，还探讨了非平衡定向输运问题，并对生物分子马达进行了深入研究。



内容提要

从牛顿力学到拉格朗日与哈密顿力学的演变过程。首先阐述了经典力学以牛顿运动三定律为基础，描述了运动和力之间的关系。然而，牛顿力学在处理复杂系统时存在困难，因此引入了广义坐标的概念，通过最小作用量原理导出拉格朗日力学，使问题变得更为简洁。拉格朗日力学通过动能和势能的差值定义拉格朗日函数，从而得到描述系统运动的拉格朗日方程。最后，介绍了从拉格朗日力学到哈密顿力学的转换，通过引入广义动量和哈密顿函数，将拉格朗日方程转化为哈密顿方程，使问题在相空间中得到更好的描述。哈密顿方程在数学和物理上具有诸多优点，如刘维尔定理和泊松括号等，为经典力学和量子力学的研究提供了有力工具。



§1.2 从牛顿力学到拉格朗日与哈密顿力学

哈密顿系统中的运动积分和正则变换。运动积分是哈密顿系统中保持不变的动力学量，它们在描述系统的动力学行为中起着关键作用。正则变换是改变坐标系而不改变哈密顿函数的变换，它们为研究哈密顿系统的动力学提供了灵活性。文章还讨论了泊松括号，它是描述力学量之间关系的一个重要工具，具有反对称性、双线性、莱布尼兹规则、雅可比恒等式和非退化性等重要性质。通过泊松括号，可以定义运动积分，并证明了运动积分的泊松括号仍然是运动积分。此外，文章还介绍了非自治哈密顿系统的自治化方法，以及刘维尔保体积定理和庞加莱回归定理等哈密顿系统的守恒性质。最后，文章讨论了正则变换的一些重要性质，如泊松括号不变性、辛条件不变性、庞加莱相对积分不变量不变性、相空间体积不变性和哈密顿方程形式不变性等。



§1.3 哈密顿系统的运动积分与正则变换

可积系统的动力学，它是一种特殊的哈密顿系统，其动力学行为可以通过研究n个独立、对合的运动积分来描述。刘维尔定理指出，如果一个n自由度的哈密顿系统存在n个这样的运动积分，那么该系统是可积的，并且可以通过有限次代数运算和积分得到系统的积分。这种系统在数学上具有很好的解析性质，可以通过作用量-角变量坐标体系来研究。在这个坐标体系中，哈密顿系统的相流可以用2n维常微分方程来描述。通过求解哈密顿-雅可比方程，可以构造出作用量-角变量坐标，并利用正则变换找到环面坐标的表示。可积系统在相空间的运动轨线特征可以通过环面与准周期运动来描述，其中系统的运动是在n个守恒量的空间中的规则运动。当频率满足非共振条件时，系统的运动是准周期的，而当频率满足共振关系时，系统的运动是周期的。对于非退化系统，对应于不同I的环面有不同的ω，即系统是非线性的。



§1.4 可积系统的动力学

近可积系统的摄动理论与小分母问题。在研究不可积哈密顿系统时，我们通常会在可积系统的基础上加上小扰动，然后利用微扰论分析扰动对系统的影响。近可积系统的特点是相空间中规则运动区域与混沌运动区域交织在一起。在小分母问题中，由于存在小分母，导致微扰解在展开的一级就会发散。KAM理论则针对这一现象，给出了可以得到近似解的严格数学条件，并指出在满足某些条件时，非线性耦合系统仍会存在能量以外的不变量，这些不变量广泛但局域地存在于各类无理环面附近。KAM理论不仅揭示了可积哈密顿系统规则运动对微扰的稳定性，还给出了无理环面得以保存的充分条件。



§1.5 近可积系统——小分母问题与KAM定理

庞加莱-伯克霍夫定理揭示了混沌运动的发生机制。该定理指出，在有理环面被破坏后，会产生大量交替出现的稳定和不稳定不动点，这些不动点导致了相空间的复杂运动结构。在二维保面积的庞加莱映射中，椭圆不动点和双曲不动点的行为，以及它们在相空间中的分布和相互作用，是观察混沌运动的关键。同宿轨道、异宿轨道和分界线等概念被引入，以解释混沌运动的产生机制。埃农-海尔斯振子作为例子，展示了从规则运动到混沌运动的过程，并展示了庞加莱截面在不同能量情况下的落点分布。

在标准映射中，KAM环面的形成与破坏对混沌运动有重要影响。在K较小时，KAM环面限制了混沌运动，但随着K的增加，环面逐渐被破坏，混沌区域不断扩大。文章分析了不同K值下相空间运动状态的分布，并探讨了KAM环面在微扰作用下生存的能力。KAM环面的破坏与否对运动的局域性有重要影响，黄金分割数被提出作为最稳定KAM环面的依据。此外，高维哈密顿系统中的阿诺德扩散机制也被介绍，指出在多自由度系统中，混沌运动可通过共振面与等能量面的交线连成一片，形成阿诺德网，从而实现全局混沌。

§1.6 庞加莱-伯克霍夫定理与混沌运动

混沌理论起源于庞加莱对三体问题的研究，随后洛伦茨在气象学中的意外发现使其走向主流。混沌现象的核心在于系统对初始条件的敏感性，这一特性被形象地称为“蝴蝶效应”。文中深入剖析了混沌现象的本质，同时探讨了动力学系统的轨道稳定性与线性稳定性分析，以及动力学失稳与分岔的概念，揭示了混沌现象的内在规律。

在混沌动力学中，洛伦茨方程扮演着举足轻重的角色。该方程在研究大气湍流、热对流等问题中具有重要意义。通过分析洛伦茨方程，我们能够观察到系统在参数变化过程中出现的分岔现象，这是系统运动轨迹复杂化的标志。其中，倍周期分岔和霍普夫分岔是常见的分岔类型，它们会导致系统从规则运动转变为混沌运动。

李雅普诺夫指数是描述系统轨道稳定性的重要工具，通过计算李指数谱，我们可以全面了解系统的动力学行为。分析洛伦茨方程的动力学行为，我们发现系统在参数变化过程中会出现暂态混沌和持续混沌现象，最终进入混沌运动状态。

混沌现象的复杂性和普遍性，使得其在各个领域都具有重要应用价值。从气象学到生物学，再到经济学，混沌理论为解决各种复杂问题提供了新的视角和方法。通过深入研究混沌现象，我们可以更好地理解自然界的运行规律，为人类社会的发展提供有益的启示。

§1.7 走向混沌——从蝴蝶效应谈起

分形几何与奇异吸引子的联系密切。混沌运动因其不稳定性和对初值的敏感性，在相空间中的长时间轨道呈现出分形特征。分形几何，作为非线性动力学的研究工具，能够揭示这些特征。从17世纪莱布尼茨对递归行为的思考，到19世纪康托构造康托集，再到20世纪芒德布罗提出分形几何学，分形理论逐渐成熟。与传统的几何相比，分形几何具有不规则性和在不同尺度上图形相似的特点。

分形维数是描述分形结构的重要参数，包括豪斯道夫维数、容量维数和信息维数。自然界和物理系统中广泛存在分形结构，如海岸线、魏尔斯特拉斯曲线、布朗运动和混沌吸引子等。

在复方程牛顿法中，研究根的吸引域和分形边界结构，以及复空间映射如朱利亚集和芒德布罗集的复杂动力学行为。同时，多重分形和胖分形等实际问题的分形特征也被探讨，分析了斯梅尔马蹄映射与混沌运动的机制。

此外，混沌奇异吸引子的分形维数与李指数之间的关系，以及混沌吸引子中不稳定周期轨道对自然测度和多重分形维数的影响，也为理解非线性系统的混沌动力学及其结构提供了理论基础。

§1.8 分形几何与奇异吸引子

第1章 非线性系统的动力学与混沌

时间，这一自然现象，既循环往复，又线性流逝。它如同昼夜更替、四季轮回，也如同生命历程的不可逆。在微观世界中，分子运动遵循牛顿定律，具有可逆性；而在宏观世界中，热力学过程却不可逆，如热量传递、扩散现象。玻尔兹曼的H定理解释了气体系统热力学过程的不可逆性，但其基于分子混沌性的假设。遍历性理论试图解释自然界中观察到的宏观热力学不可逆性的起源。

然而，关于宏观不可逆性的问题，仍有诸多质疑。麦克斯韦妖、洛施密特可逆性佯谬、策梅洛回归性佯谬等从不同角度提出质疑，但最终都被证明是错误的。非线性动力学和混沌理论为我们认识统计与动力学之间的关系提供了重要思路。

硬球系统轨道的指数不稳定性揭示了统计物理、遍历理论与非线性系统动力学之间的紧密联系。研究非线性动力学和混沌动力学旨在深入理解统计力学的微观基础，特别是动力学系统的统计特性。混沌动力学的发展为这一问题提供了较为可信的解释，如哈密顿系统的KAM理论，它解释了牛顿力学中的一些现象，包括太阳系天体的稳定性以及大自由度系统通常只存在一个能量积分不变量的原因。

时间这一概念，在微观与宏观世界中展现出截然不同的特性。微观世界的分子运动遵循牛顿定律，具有可逆性，而宏观世界中的热力学过程却不可逆。这种现象引发了关于时间不可逆性的诸多探讨。玻尔兹曼的H定理解释了气体系统热力学过程的不可逆性，但基于分子混沌性的假设。遍历性理论试图解释自然界中观察到的宏观热力学不可逆性的起源。

然而，关于宏观不可逆性的问题，仍有诸多质疑。麦克斯韦妖、洛施密特可逆性佯谬、策梅洛回归性佯谬等从不同角度提出质疑，但最终都被证明是错误的。非线性动力学和混沌理论为我们认识统计与动力学之间的关系提供了重要思路。

硬球系统轨道的指数不稳定性揭示了统计物理、遍历理论与非线性系统动力学之间的紧密联系。研究非线性动力学和混沌动力学旨在深入理解统计力学的微观基础，特别是动力学系统的统计特性。混沌动力学的发展为这一问题提供了较为可信的解释，如哈密顿系统的KAM理论，它解释了牛顿力学中的一些现象，包括太阳系天体的稳定性以及大自由度系统通常只存在一个能量积分不变量的原因。

§2.1 统计物理基本问题研究概述与历史回顾

遍历理论在阐述动力学系统的随机性方面具有重要作用，它将动力学与统计物理联系起来。该理论强调，全局混沌是统计物理成立的基础，即使是自由度较少的系统，在特定条件下也能展现出统计性质。文中深入探讨了动力学不变测度，包括刘维尔测度及其时间演化，以及等能面上的不变测度。

庞加莱回归性、遍历性和混合性等概念，以及它们在统计力学中的应用，揭示了动力学与统计力学之间的紧密联系。庞加莱回归性指出，系统在一定时间后会回到起点；遍历性强调系统从任意一点出发，长时间后可以遍历相空间几乎所有区域；混合性描述了系统对初始状态的遗忘机制。

系统动力学中的遍历性和混合性在相空间演化中扮演着重要角色。以面包师变换为例，展示了粗粒化意义下系统趋向平衡态的不可逆性。同时，阐述了关联函数趋于零的速度在不同混合系统中的差异性，并引入了长时尾行为的概念。

文中还介绍了科尔莫戈罗夫系统和阿诺索夫系统，分析了它们在相空间中的演化特征和随机性。最后，以弹子系统为例，讨论了发散型和非发散型弹子系统的动力学性质，以及它们在混沌运动中的表现。

遍历理论的研究有助于我们更好地理解动力学系统的随机性，为统计物理的发展提供了有力的理论支持。通过对动力学不变测度、庞加莱回归性、遍历性和混合性等概念的探讨，我们能够更深入地认识动力学与统计力学之间的内在联系。此外，对科尔莫戈罗夫系统和阿诺索夫系统以及弹子系统的分析，有助于我们更好地理解混沌运动中的动力学性质。

§2.2 遍历理论

少体系统的统计与热力学，这类系统由于自由度较少，其个体数和微观状态数远未达到热力学极限。研究者们通过研究少体系统，揭示了统计概念的深层次动力学根源，并建立了平衡态热力学与统计。在少体系统中，系统哈密顿量的形式较为简单，一些与哈密顿量有关的统计性质可以解析地计算出来。此外，研究少体动力学系统统计性质对于理解多体系统的性质以及热力学极限下统计物理和热力学的动力学根源具有重要意义。在遍历性条件下，可以建立统计性质理论，并对简单系统的平衡态和非平衡行为进行研究。



§2.3 少体系统的统计与热力学

硬球系统是一个历史悠久且在物理上至关重要的模型。它通过哈密顿力学展示了动力学系统如何产生统计力学的预测，并通过直接验证增强了这些预测的可信度。通过对N个硬球系统的遍历性研究，我们揭示了其在位形空间和动量空间中的概率分布，以及其趋向平衡态的演化过程。

在研究中，我们讨论了玻尔兹曼熵的演化与关联函数演化，揭示了系统在趋向平衡态过程中的复杂性。同时，我们指出长时尾行为与系统内部动力学复杂性之间的联系。此外，我们还探讨了硬球系统在不同边界条件下的遍历性，以及一维空间N粒子系统的遍历性，为理解多体系统的动力学行为提供了新的视角。

在N粒子系统中，粒子在动量空间的概率分布是一个重要议题。研究发现，只有当N≥4时，系统才具有各态历经行为。文章详细描述了单粒子位形分布的计算方法，并通过比较固定边界和周期边界条件下的分布，展示了不同边界条件对系统位形分布的影响。此外，我们还分析了系统位形分布与粒子质量的关系，指出在特定条件下，系统可以退化为固定边界条件下的结果。

研究进一步揭示了硬球系统在位形空间和动量空间中的概率分布，以及其趋向平衡态的演化过程。通过分析玻尔兹曼熵的演化与关联函数演化，我们揭示了系统在趋向平衡态过程中的复杂性。此外，我们还探讨了硬球系统在不同边界条件下的遍历性，以及一维空间N粒子系统的遍历性，为理解多体系统的动力学行为提供了新的视角。

在N粒子系统中，粒子的动量空间概率分布是一个关键议题。研究发现，只有当N≥4时，系统才具有各态历经行为。文章详细描述了单粒子位形分布的计算方法，并通过比较固定边界和周期边界条件下的分布，展示了不同边界条件对系统位形分布的影响。此外，我们还分析了系统位形分布与粒子质量的关系，指出在特定条件下，系统可以退化为固定边界条件下的结果。

通过研究硬球系统在不同边界条件下的遍历性，以及一维空间N粒子系统的遍历性，我们为理解多体系统的动力学行为提供了新的视角。这些研究有助于我们更深入地理解动力学系统的性质和统计力学的预测。

§2.4 硬球系统的统计力学

哈密顿系统动力学的微分几何理论，主要关注低维哈密顿系统的动力学行为。该理论利用微分几何来描述哈密顿系统的动力学，强调系统相空间轨迹的几何与拓扑特性。通过将位形空间赋予适当的测度，相空间的动力学轨迹可以看作是位形空间中的测地线。文章讨论了哈密顿系统的几何化，并利用黎曼几何的框架进行讨论，其中黎曼流形的优点在于可以定义和度量任意两点的距离。文章还介绍了雅可比度规和艾森哈特度规，这些度规可以帮助我们更好地理解哈密顿系统的动力学行为。此外，文章还讨论了动力学稳定性的几何表现，以及如何通过微分几何理论来分析高维哈密顿系统的混沌动力学。



§2.5 哈密顿系统动力学的微分几何理论

哈密顿系统中，李指数在平衡态相变中扮演了关键角色。文章首先介绍了李指数的微分几何表达式，通过艾森哈特度规和对动能矩阵的假设，将雅可比方程转化为切向动力学方程，揭示了李指数与流形稳定性之间的联系。接着，文章探讨了李指数的统计性质，包括平均值、方差和时间关联函数，并进一步讨论了特征关联时间尺度。

文章还介绍了最大李指数的计算方法，并给出了FPU-β模型和一维XY模型的实例。最后，通过二维XY模型和三维XY晶格的例子，展示了最大李指数在相变点附近的突变行为。

在相变研究中，李指数是重要的工具之一，它对相变临界点的敏感性很高。然而，具体行为与模型密切相关，因此并非探测对称性破缺相变的理想动力学量。文章进一步探讨了哈密顿力学系统混沌运动的几何根源，以及李雅普诺夫特征指数与位形空间里奇曲率涨落的关系。

此外，文章提出了CCCP拓扑假设，即热力学系统相变行为来源于其位形空间的拓扑性质转变，这一假设在多个模型中得到了验证。文章强调了统计相变与几何拓扑转变之间的密切联系，但同时也指出两者之间的联系仍需进一步研究。

§2.6 哈密顿系统的李指数与平衡态相变

第2章 从动力学到平衡态统计物理

非平衡统计物理的基本问题，包括非平衡系统的确定性描述、非平衡热力学系统的动力学描述、非平衡态统计物理的基本问题以及西奈-儒勒-伯温（SRB）分布与混沌假设。首先，文章从恒温动力学系统出发，阐述了非平衡系统的确定性描述，包括封闭系统与外界进行能量交换的方式。接着，文章介绍了非平衡态统计物理的基本问题，包括动力学与统计之间的关系问题。最后，文章详细讨论了SRB分布与混沌假设，包括SRB分布的拓扑描述和马尔可夫配分理论，以及西奈第二定理，说明了SRB分布对于非平衡定态系统的宏观量计算的重要性。



§3.2 非平衡统计物理基本问题

基于微观动力学的涨落定理，主要阐述了混沌假设在非平衡定态系统中的应用及其与热力学不可逆性的关系。通过加拉沃蒂-科恩涨落定理，从动力学的稳定性角度阐述了可逆系统在演化方向上的不对称性，揭示了系统自发演化时更倾向于具有更高概率的方向。此外，还介绍了伊万斯-瑟尔斯涨落定理，解释了耗散动力学系统中状态系综演化正过程与逆过程的熵产生概率之间的关系，进一步揭示了热力学第二定律在微观层面上的表现。这两大定理为理解热力学过程提供了新的视角。



§3.3 基于微观动力学的涨落定理

自由能是热力学中一个关键概念，它描绘了系统的宏观性质，并在平衡态和相变等方面扮演重要角色。在绝热过程中，自由能的变化与系统对外界所做的功紧密相关。然而，在真实的热力学过程中，由于不可逆性，自由能的变化无法直接通过测量做功来获得。为此，加津斯基提出了自由能等式，即使是非平衡态的热力学过程，也能通过测量做功来计算自由能的变化。这一等式对于小系统热力学过程的测量具有重要意义，并在文章中得到了证明和应用。

在P5abcRNA拉伸实验中，研究人员比较了不同计算方法得到的平均耗散功与拉伸长度的关系。实验中通过低转换速率实现了近似可逆过程，结果显示，最大功原理、涨落耗散定理和加津斯基等式计算得到的耗散功曲线几乎重合。但在较快转换速率下，耗散功曲线出现差异。这表明，在近似可逆的条件下，加津斯基自由能等式能给出更准确的结果，并且实验操作简便。

文章还讨论了加津斯基自由能等式与热力学第二定律的关系，并利用詹森不等式证明了二者的一致性。这进一步证实了加津斯基自由能等式在热力学理论中的重要地位。

此外，文章还介绍了量子加津斯基自由能等式，并解释了其在量子系统中的应用和验证。量子加津斯基自由能等式是量子力学与热力学相结合的产物，它为量子系统中的自由能变化提供了新的研究方法。

综上所述，加津斯基自由能等式在热力学和量子力学领域具有广泛的应用价值。通过实验验证，该等式在近似可逆的条件下能给出准确的结果，为热力学过程的研究提供了有力的工具。同时，加津斯基自由能等式与热力学第二定律的一致性，也进一步证实了其在理论上的正确性。随着研究的深入，加津斯基自由能等式将在热力学和量子力学领域发挥越来越重要的作用。

§3.4 加津斯基自由能等式

克鲁克斯涨落关系，这是基于半动力学半随机过程分析研究系统热力学在正逆过程外界对系统做功的概率分布之间的关系。通过分析正逆过程做功的概率分布，揭示了热力学过程的不可逆性，并直接证明了加津斯基自由能等式。该关系式不仅体现了热力学量的统计性质，还揭示了宏观不可逆性，如热力学第二定律。此外，还讨论了热交换涨落关系，揭示了不同温度系统之间在传热过程中的涨落关系，进一步深化了对热力学过程的理解。



§3.5 克鲁克斯涨落关系

变温热力学过程自由能关系的研究。首先，讨论了系统与多个不同温度的热源接触并同时发生做功行为的过程，并分析了温度变化时系统与外界的热交换对自由能关系的影响。接着，从理论上推导了变温情况下的自由能等式，并给出了相应的数值验证。此外，还讨论了变温自由能等式的应用，以及非马尔可夫过程下的自由能关系。最后，对任意变温情况下的自由能等式进行了推广，并探讨了非马尔可夫性对自由能关系的影响。



§3.6 变温热力学过程自由能关系

硬球系统在统计物理领域扮演着重要角色，特别是在研究热力学第二定律时。文章深入探讨了少体硬球系统在不可逆过程中的行为，运用数值模拟和系综平均方法研究了系统在绝热过程中的熵变和压强变化。研究发现，当压缩速度提升时，系统的熵产生率相应增加，这与热力学第二定律相符。

文章进一步分析了少体硬球系统在绝热活塞过程中的非平衡振荡。通过引入随机力，建立了唯象的随机动力学方程，揭示了系统从非平衡态向平衡态的演化过程。同时，研究还探讨了增加系统粒子数和系综平均样本数对降低涨落和提高热力学第二定律有效性的影响。

在绝热活塞系统从非平衡态向平衡态演化的过程中，研究揭示了活塞运动的微观动力学行为。通过数值模拟和理论分析，研究揭示了活塞运动的不同阶段，包括初始的周期振荡、振荡衰减趋向力学平衡，以及最终达到热平衡和空间平衡的全局平衡态。

研究发现，在活塞运动过程中存在能量反常传输现象，这主要归因于系统内压强的涨落。通过引入噪声驱动的活塞运动耗散动力学方程，可以解释活塞从非平衡态到平衡态的整个演化过程，并验证了局域能量均分假设和热力学涨落假设的有效性。

此外，研究还指出，在非平衡态下，少体与多体系统存在本质差别。长时间平均的手段在描述少体“非平衡”态时不再适用，需要采用系综平均的方法来研究。

§3.7 少体硬球系统的不可逆过程与涨落

第3章 少体系统的非平衡涨落理论与自由能关系

热传导这一基本物理现象，它是自然界中普遍存在的现象之一。热传导问题的研究对非平衡热力学系统输运理论与线性响应理论至关重要。从早期采用唯象理论到如今利用统计物理方法，热传导问题的研究经历了许多变化。尽管在微观层面研究存在困难，但近年来关于热传导的微观动力学机制研究备受关注，特别是正常热导率问题。此外，早期关于热传导的微观理论研究主要从气体开始，而固体热导的微观理论则是在晶格振动理论建立后才逐渐形成。近年来，低维热传导问题成为研究的热点，并引发了对热传导调控的新思考。此外，热传导与傅里叶定律的关系以及低维系统的热传导模型也是本章的重要内容。



§4.1 非线性系统热传导引论

热传导过程的理论研究方法，包括温度、热源、热流、热导率等基本概念。首先，从微观动力学层次出发，定义了温度，并通过系综平均和沿微观动力学轨道的时间平均两种方法进行计算。接着，对热源进行了微观理论刻画，提出了麦克斯韦热源、朗之万热源和确定性热源等不同处理方式。然后，定义了热流，并给出了热流密度的表达式。最后，讨论了热导率，并介绍了傅里叶定律和线性响应理论等计算方法。这些理论为研究热传导的微观过程提供了重要的基础。



§4.2 热传导过程的理论研究方法

微观动力学视角下的热传导问题研究，深入探讨了系统动力学的非线性、可积性、遍历性与混沌等行为对宏观热传导的影响。研究通过简谐链和户田链系统为例，揭示了非线性或非简谐相互作用对于系统实现正常热传导是必要的，但并非充分条件。混沌性在热传导中也扮演着重要角色，混沌动力学能够促进能量的有效扩散。然而，部分系统尽管动力学上呈现混沌，却仍可能出现反常热传导现象。无序性也被证实能够影响热传导，例如，在洛伦茨弹子气体通道模型中，散射体的排列方式会影响系统的热传导行为。

具体而言，通过对洛伦茨正三角形均匀散射体气体通道的热传导计算，发现当系统尺寸不同，即散射体元胞数量N变化时，系统能量在空间扩散呈现超扩散性质，并表现出反常热传导。而当对散射体的尺寸和位置引入无序分布后，温度分布呈现出良好的线性关系，热流J(N)与系统尺寸N呈幂律关系，即J(N)～N^(1+α)，此时系统展现出正常热传导。进一步地，随着无序程度d的增加，指数α和β逐渐趋近于正常热传导对应的指数值α≈-2和正常扩散对应的指数值β≈1。

此外，研究还涉及到动量守恒不可积系统的热传导问题，以及普罗森-坎贝尔定理（PC定理）的证明过程及其适用条件。这些研究成果有助于我们更深入地理解热传导现象的微观机制，为热传导问题的研究提供了新的视角和方法。

§4.3 动力学系统的遍历性质与热传导

声子气体理论是研究晶格热传导微观机制的重要工具。该理论将晶格振动简化为声子气体模型，通过分析声子间的相互作用和散射机制来揭示热传导的微观过程。在理论中，声子被视作一种准粒子，它们在晶格中传播并传递能量。声子之间的相互作用分为正规过程和倒逆过程，其中倒逆过程是产生热阻的关键。同时，该理论还研究了声子气体输运过程，以及模耦合理论对热导率维度和尺寸效应的影响。

在晶格系统中，热传导的理论和实验研究同样具有重要意义。首先，投影算符在慢模动力学分析中扮演着重要角色，通过模方程和投影操作可以得到慢模上Qk的广义主方程。此外，系统非线性产生的重整化效应和关联函数、记忆核函数的应用，有助于描述系统的动力学行为。

声子-格点相互作用与正常热传导紧密相关，外势对声子的散射是导致正常热传导的关键机制。实证研究验证了理论预测，并探讨了不同理论方法在研究热传导问题中的应用。

综上所述，声子气体理论和晶格系统中热传导的研究，为理解热传导的微观机制提供了重要视角，有助于推动相关领域的发展。

§4.4 晶格热传导的声子气体理论

声子重整化理论，该理论用于处理非简谐晶格中的声子行为。通过引入有效声子，该理论将非线性晶格系统的相互作用声子谱重整化为简谐振子链的独立声子谱，从而解释了反常热传导和热导率。理论推导中，引入了坐标变换和正则变换，并利用能量均分定理得到了有效声子频率和波速的表达式。通过分析热导率的尺寸依赖性和温度依赖性，声子重整化理论对非线性晶格系统的热传导行为给出了深入的物理解释。



§4.5 声子重整化理论

在热传导研究中，能量载流子的角色至关重要。无论是气体还是晶格，热传导均依赖于能量载流子的传递。在低温条件下，晶格振动占据主导地位，而声子作为关键的能量载流子，在能量传递过程中发挥着重要作用。然而，当温度上升或非线性效应增强时，除了声子，其他集体模也参与到能量输运中。

本文重点分析了格点系统的非线性模，尤其是本征局域模，这些模在热传导中扮演着关键角色。以FPU系统为例，详细探讨了非线性波和孤立波在热传导中的传播和失稳过程。此外，本文还研究了包络孤子和椭圆余弦波在非线性晶格链中的作用，揭示了系统能量在孤子、声子、椭圆余弦波之间的转换和相互作用。

呼吸子作为一种特殊的非线性振动模式，在晶格系统中具有重要作用。呼吸子能够在局部格点上振动而不传播，阻止能量在格点上的传播，形成能量扩散，影响正常的热传导行为。通过FPU-β链系统为例，本文探讨了次近邻耦合对呼吸子与声子相互作用的影响，以及离散呼吸子在系统演化中的作用。此外，本文还介绍了有效声子作为能量载流子的概念，并分析了其在不同温度下对能量输运的影响。

研究表明，呼吸子和有效声子是晶格系统中重要的能量载流子，对理解非线性晶格系统的热传导和能量输运具有重要意义。具体来说，声子作为传统意义上的能量载流子，在低温条件下占据主导地位，但随着温度的升高，非线性效应逐渐显现，其他集体模开始参与到能量输运中。例如，本文所研究的孤立波、包络孤子和椭圆余弦波等，都是非线性格点链中重要的能量传递方式。

此外，呼吸子在晶格系统中也具有重要作用。它能够在局部格点上振动，阻止能量在格点上的传播，形成能量扩散。在FPU-β链系统中，次近邻耦合对呼吸子与声子相互作用的影响得到了深入研究。这表明，呼吸子不仅能够阻止能量在晶格中的传播，还能够与声子产生相互作用，从而影响系统的热传导行为。

最后，有效声子作为能量载流子的概念也得到了广泛关注。本文分析了有效声子在不同温度下对能量输运的影响，揭示了其在非线性晶格系统中的重要作用。这一发现有助于我们更好地理解非线性晶格系统的热传导和能量输运机制。

总之，本文从多个角度探讨了非线性晶格系统的热传导和能量输运问题，为深入研究该领域提供了重要参考。通过分析声子、孤子、呼吸子等能量载流子的作用，本文揭示了非线性晶格系统中能量传递的复杂机制，为相关研究提供了有益的启示。

§4.6 热传导与非线性能量载流子

反常热传导和反常扩散的概念及其与能量空间输运行为的密切联系。文章首先介绍了反常扩散现象，包括亚扩散、超扩散和局域化等不同类型，并通过连续时间随机行走理论解释了这些现象的微观机制。接着，文章将反常扩散与反常热传导联系起来，探讨了能量扩散速率幂律指数α和热导率尺寸依赖幂律指数β之间的关系，并通过一些具体例子验证了这一关系。最后，文章强调了反常热传导和反常扩散在复杂系统研究中的重要性，并介绍了相关理论和方法。



§4.7 反常热传导与反常扩散

第4章 非线性系统的热传导与动力学

分子马达的原理最早可追溯到对第二类永动机的探讨。第一类永动机由于违反能量守恒定律而被否定，而第二类永动机则因违反热力学第二定律而无法实现。随后，科学家们开始研究热力学棘轮和布朗马达，试图从微观尺度上实现能量转化。斯莫拉考夫斯基-费曼棘轮假想实验表明，在分子尺度下无法实现从单一热源吸热做功。然而，近年来，科学家们在颗粒物质体系中发现了单向转动现象，为布朗马达的研究提供了新的思路。布朗马达的研究不仅有助于理解分子马达的原理，还为纳米技术等领域的发展提供了理论基础。



§5.1 热力学棘轮与布朗马达

布朗马达通过定向输运实现粒子在非平衡态下的有序运动。其原理涉及热力学棘轮机制和非平衡态下的系统对称性破缺。文中以质量为M的粒子在空间外势场V中的布朗运动为例，深入解析了朗之万方程及其描述的粒子所受各种力。同时，探讨了系统偏离平衡态的多种方式，如温度分布不均匀、外力驱动等。

文中详细介绍了布朗马达的定向输运类型，包括脉动棘轮和摇摆棘轮，并分析了它们的对称性破缺和非平衡方式。此外，还讨论了布朗马达的效率问题，涉及整流效率和能量平衡方程，以及确定性棘轮在无噪声情况下的定向输运现象。

惯性马达在周期力作用下产生的混沌运动对宏观定向输运具有重要影响。文章分析了系统在空间和时间反演下的对称性行为，引入了Sa和Sb对称性，并讨论了这些对称性对系统运动轨迹的影响。当系统对称性破缺时，在相空间随机层中观察到非零的平均速度。此外，探讨了混沌运动在系统中的角色，认为混沌性可以扮演热噪声的作用，使系统在很小的驱动信号振幅下实现定向运动。

最后，文章通过具体实例说明了混沌驱动与完全随机噪声之间的差异，指出混沌驱动下的系统输运行为与随机噪声存在本质区别。

§5.2 布朗马达的定向输运

分子马达，这些精巧的生化能量转化机械，在生命体内扮演着关键角色。它们负责细胞骨架的构成以及物质在细胞内的运输。分子马达的运动依赖于非平衡热力学状态和对称性的破坏，它们通过ATP的水解等方式获取能量，并在具有极性的微丝或微管等特定轨道上高效运动。

目前，分子马达主要分为四大类：线动马达、转动马达、聚合马达和易位马达。线动马达在细胞内负责囊泡的定向运输和肌肉收缩等功能，而转动马达则嵌入细胞膜内，通过构型变化产生扭矩。科学家们通过单分子技术和实时观测技术对分子马达进行了深入研究，揭示了它们的运动模式、能量来源和构型变化等特性。

细胞骨架由微丝、微管和中间纤维构成，这些由单体蛋白构成的纤维，维持着细胞的形态、细胞运动和细胞器的定位。分子马达的特性包括运动的有向性、步进式运动、产生的力和协作性，这些特性在细胞内物质运输中发挥着重要作用。同时，分子马达在生物体内的非平衡状态和高度有序的结构，为物理学建模提供了重要依据。

分子马达的运动需要特定的条件，即非平衡热力学状态和对称性的破缺。它们通过水解ATP或其他途径获取能量，在微丝或微管等特定轨道上高效运动。线动马达、转动马达、聚合马达和易位马达各有其独特的作用，它们共同构成了细胞内复杂的运输系统。

分子马达在细胞骨架的构成和功能中发挥着关键作用。它们通过有向性、步进式运动、产生的力和协作性，确保了细胞内物质运输的高效性和准确性。同时，分子马达在生物体内的非平衡状态和高度有序的结构，为物理学建模提供了重要依据。

分子马达的研究有助于我们更好地理解细胞内部的复杂过程。通过对分子马达的深入研究，我们可以揭示生命体内的许多秘密，为生物学和医学等领域的发展提供新的思路。在未来的研究中，科学家们将继续探索分子马达的奥秘，为人类健康和科技发展做出更大的贡献。

§5.3 生命体内的分子马达

分子马达的物理建模是一个结合实验观察和物理学原理的研究领域。这一研究起源于对肌肉收缩的早期研究，其中建立起了做功冲程模型，这一模型将能量储存与释放与马达的运动联系起来。随着单分子技术的进步，研究者们对分子马达的结构和运动有了更深入的认识。

在分子马达的运动机制方面，本章重点讨论了交臂和尺蠖两种行进方式，并探讨了如何通过实验技术来观察这些运动。此外，文中还介绍了多态棘轮模型和尤利舍-普罗斯特刚性耦合马达模型，这些模型用于描述分子马达的运动和协作输运过程。

在生物分子马达的建模研究中，研究人员试图通过物理模型来理解这些马达的运动机制。文中详细介绍了多种建模方法，包括JP模型、FM模型、MF模型、GK模型、CL模型等。这些模型基于不同的物理假设和数学工具，对马达蛋白的运动进行了描述和分析。通过这些研究，科学家们旨在揭示马达蛋白运动的物理本质，为生物分子马达的深入研究及其应用提供理论基础。

具体来说，JP模型等物理模型为研究分子马达的运动提供了新的视角。这些模型不仅有助于理解分子马达的基本工作原理，而且对分子马达的设计和应用具有指导意义。例如，通过JP模型，研究者们可以预测和优化分子马达在不同环境条件下的性能。

在实验技术方面，单分子技术使得对分子马达的观察和分析成为可能。这一技术的进步使得研究者能够更精确地测量分子马达的运动参数，如速度、方向和动力等。这些数据对于理解分子马达的运动机制至关重要。

此外，多态棘轮模型和尤利舍-普罗斯特刚性耦合马达模型为分子马达的运动和协作输运过程提供了新的描述。这些模型有助于揭示分子马达在不同环境条件下的工作原理，为分子马达的设计和应用提供了新的思路。

总之，分子马达的物理建模研究对于理解生物分子马达的运动机制具有重要意义。通过建立物理模型，研究者们可以更深入地了解分子马达的工作原理，为生物分子马达的进一步研究和应用提供理论基础。随着单分子技术和建模方法的不断发展，我们有理由相信，在不久的将来，分子马达的研究将取得更多突破，为生物科学和工程领域带来更多创新。

§5.4 分子马达动力学机制与物理建模

布朗马达的定向输运行为及其耦合作用对系统性能的影响。通过分析单个布朗马达和多个马达之间的协作效应，揭示了系统在不同条件下的定向流产生机制。研究发现，单个马达在非平衡和对称破缺条件下可以产生定向流，但实际应用中，多个马达的协作效应及构型与协作之间的相互作用更为重要。此外，不同学科实验背景下的耦合与协作在分子马达的构造和功能中也起着重要作用。通过耦合作用，多个马达可以产生合作定向输运行为，在纳米材料等领域具有广泛的应用。本文详细讨论了不同耦合系统下的定向输运行为，包括一维摇摆棘轮硬球系统、弹性耦合摇摆棘轮系统和耦合惯性闪烁棘轮系统，揭示了系统定向输运对外力响应、硬球尺寸、耦合强度和闪烁周期等因素的依赖关系。



§5.5 耦合作用对定向输运的影响

粒子间的耦合作用在定向输运过程中起着关键作用。研究发现，这种作用并不是直接引起定向输运，而是通过改变单粒子运动中的对称性破缺来影响定向输运。当多粒子相互作用时，原本不具备定向输运特性的系统，在耦合作用下可能会实现高效的定向输运。

以一维耦合粒子系统模型为例，研究者分析了势垒高度和外势周期对系统定向输运的影响，发现系统定向流与势垒高度和外势周期之间存在复杂的依赖关系。此外，研究还探讨了耦合含时调制和时空对称破缺对集体定向输运的影响，并深入研究了二维合作定向输运的机制。

在二维棘轮势场中，研究者对耦合粒子的定向运动进行了研究。通过分析粒子间相互作用和外部驱动力的作用，揭示了粒子如何在无外力作用下实现x方向的定向运动。研究发现，通过调节驱动力的相位和强度，可以使粒子协同完成x方向的定向运动。同时，系统动力学的时间和空间变换不变性可以通过对方程的变换不变性分析来理解。

在随机力驱动下，研究还发现了定向流与噪声强度之间存在有趣的随机共振关系。此外，引入双阱势场后，发现定向流与自由长度和双稳参数的关系更为复杂，但可以通过优化进一步实现合作定向输运。

综上所述，粒子间的耦合作用对定向输运的影响主要体现在以下几个方面：一是通过改变单粒子运动中的对称性破缺来影响定向输运；二是多粒子相互作用下，原本不具备定向输运特性的系统可能会在耦合作用下实现高效的定向输运；三是势垒高度和外势周期对系统定向输运的影响存在复杂关系；四是耦合含时调制和时空对称破缺对集体定向输运有重要影响；五是二维合作定向输运的机制值得深入研究。

从动力学到统计物理学