范德瓦尔登的《代数学》是现代数学的一部奠基之作，这部书不仅对提高数学家的学识修养有很大意义，对现代数学如扑拓学、泛函分析等以及一些其他科学领域也有重要影响。全书共分两卷，本书是第一卷，分成11章：前5章以最小的篇幅包括了为所有其余各章作准备的知识，即有关集合、群、环、域、向量空间和多项式的最基本的概念；其余各章主要讲述交换域的理论，包括Galois理论和实域。
目录
引言
第1章 数与集合
1.1 集合
1.2 映射，势
1.3 自然数序列
1.4 有限与可数集合
1.5 分类
第2章 群
2.1 群的概念
2.2 子群
2.3 群子集的运算，陪集
2.4 同构与自同构
2.5 同态，正规子群，商群
第3章 环与域
3.1 环
3.2 同态与同构
3.3 商的构成
3.4 多项式环
3.5 理想，同余类环
3.6 整除性，素理想
3.7 Euclid环与主理想环
3.8 因子分解
第4章 向量空间和张量空间
4.1 向量空间
4.2 维数不变性
4.3 对偶向量空间
4.4 体上的线性方程组
4.5 线性变换
4.6 张量
4.7 反对称双线性型与行列式
4.8 张量积，缩并与迹
第5章 多项式
5.1 微分法
5.2 多项式的零点
5.3 内插公式
5.4 因子分解
5.5 不可约性判定标准
5.6 因子分解在有限步下的完成
5.7 对称函数
5.8 两个多项式的结式
5.9 结式作为根的对称函数
5.10 有理函数的部分分式分解
第6章 域论
6.1 子体，素体
6.2 添加
6.3 单纯域扩张
6.4 域的有限扩张
6.5 域的代数扩张
6.6 单位根
6.7 Galois域（有限域）
6.8 可分与不可分扩张
6.9 完全域及不完全域
6.10 代数扩张的单纯性，本原元素定理
6.11 范数与迹
第7章 群论续
7.1 带算子的群
7.2 算子同构和算子同态
7.3 两个同构定理
7.4 正规群列与合成群列
7.5 pn阶群
7.6 直积
7.7 群的特征标
7.8 交错群的单纯性
7.9 可迁性与本原性
第8章 Galois理论
8.1 Galois群
8.2 Galois理论的基本定理
8.3 共轭的群、域与域的元素
8.4 分圆域
8.5 循环域与纯粹方程
8.6 用根式解方程
8.7 n次一般方程
8.8 二次、三次与四次方程
8.9 圆规与直尺作图
8.10 Galois群的计算，具有对称群的方程
8.11 正规基
第9章 集合的序与良序
9.1 有序集合
9.2 选择公理与Zorn引理
9.3 良序定理
9.4 超限归纳法
第10章 无限域扩张
10.1 代数封闭域
10.2 单纯超越扩域
10.3 代数相关性与无关性
10.4 超越次数
10.5 代数函数的微分法
第11章 实域
11.1 有序域
11.2 实数的定义
11.3 实函数的零点
11.4 复数域
11.5 实域的代数理论
11.6 关于形式实域的存在定理
11.7 平方和
索引
Bartel Leendert van der Waerden (February 2, 1903, Amsterdam, Netherlands – January 12, 1996, Zürich, Switzerland) was a Dutch mathematician.
Van der Waerden learned advanced mathematics at the University of Amsterdam and the University of Göttingen, from 1919 until 1926. He was much influenced by Emmy Noether at Göttingen. Amsterdam awarded him a Ph.D. for a thesis on algebrai...
- 范德瓦尔登《代数学I》的价值不在于提供最新的解题工具，而在于展示抽象代数如何从经典多项式理论中生长出来。相比现代教材直接引入范畴论或模论的高阶视角，本书坚持用初等但严谨的构造主义方法，让读者亲眼见证群、环、域如何一步步被定义并关联起来。这种“慢工出细活”的叙述方式，虽然牺牲了效率，却极大地增强了概念的根基感。对于已经学过一遍抽象代数、感觉知识碎片化的读者，重读此书能重新串联起逻辑链条，体会到数学结构的内在美感，这是任何速成教材无法替代的深度体验。
- 然而，必须清醒认识到本书的时代局限性。它缺失了现代代数研究中至关重要的Sylow定理、完整的模论以及同调代数初步，这使得它无法独立支撑当代研究生课程的需求。此外，中文译本的僵硬与符号系统的陈旧构成了显著的阅读门槛，容易劝退初学者。因此，它不应被奉为唯一的圣经，而应作为经典参照系使用。最佳策略是搭配一本现代标准教材（如Jacobson或Lang），将本书作为深化理解、追溯源流的补充读物。只有在具备一定基础后，才能领略其精道之处，否则极易陷入术语泥潭而错失其精髓。
- 本书作为现代抽象代数的奠基之作，其核心意图在于构建一个从集合、群、环到域论的完整公理化体系。不同于现代教材侧重范畴论或模论工具，范德瓦尔登更注重经典代数结构与多项式理论的历史渊源，通过构造式讲解揭示代数对象间的内在逻辑联系，为理解Galois理论提供坚实的底层架构。
- 书中前5章以极简篇幅涵盖基础概念，随后深入交换域理论与实域分析，这种结构安排体现了作者对“最小准备知识”与“核心理论”之间平衡的考量。它不仅是数学知识的罗列，更是展示如何将离散代数结构（如群、环）与连续代数结构（如域扩张）统一在严谨逻辑下的典范，具有极高的方法论价值。
- 该书保留了大量自然语言解释和直观形象的概念描述，虽在证明细节上不如现代教材严密，但在建立直觉方面独具优势。特别是关于带算子群和张量空间的早期处理，反映了20世纪中叶代数研究的风貌，为读者提供了对比现代代数发展轨迹的珍贵视角，是理解代数思想演变的关键文本。
- 读者普遍认可其经典地位与清晰的结构，认为它是进入抽象代数世界的优质敲门砖，尤其赞赏其对基本概念直观形象的描述方式。多位读者提到重读仍能被打动，说明其在建立代数直觉方面具有持久生命力，尽管存在时代局限，但其核心逻辑依然稳固。
- 争议主要集中在翻译质量与内容时效性上。部分读者抱怨翻译生硬、符号过时，甚至因此弃书；同时指出缺失Sylow定理等关键内容使其无法单独作为现代课程教材。这表明该书更适合辅助阅读或深度研习，而非作为唯一的学习依据。
- 共识在于其“难啃但值得”的特性。虽然阅读体验不如现代教材流畅，且需要二刷才能消化，但多数坚持读完的读者认为其内容深厚，能带来一气呵成的智力满足感。它被视为一种思维体操，虽非最便捷路径，却是通往深刻理解的必经之路之一。
